完全背包问题——动态规划——这道题解是认真写的qwq
目录
完全背包问题和01背包问题的区别就是完全背包问题不限制物体的数量。
题目链接:https://www.acwing.com/problem/content/3/
有 NN 种物品和一个容量是 VV 的背包,每种物品都有无限件可用。
第 ii 种物品的体积是 vivi,价值是 wiwi。
求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。 输出最大价值。
题目
输入格式
第一行两个整数,N,VN,V,用空格隔开,分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 NN 行,每行两个整数 vi,wivi,wi,用空格隔开,分别表示第 ii 种物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数,表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤10000<N,V≤1000 0<vi,wi≤10000<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例:
10
题解
参考作者:Charles__ 链接:https://www.acwing.com/solution/content/5345/ 来源:AcWing
在01背包问题中,有一段判断装不装该物品的代码:
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++)
{
// 当前背包容量装不进第i个物品,则价值等于前i-1个物品
if(j < v[i])
f[i][j] = f[i - 1][j];
// 能装,需进行决策是否选择第i个物品
else
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
我们可以用一个0到1的k循环改写,k的物理意义是物品的数量:
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++) {
for(int k = 0 ; k*v[i]<=j&&k<=1 ; k++)
f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
}
}
当k=0时,f[i][j] = f[i-1][j]
;
当k=1时(k*v[i]<=j的约束条件保证背包可以装得下),
f[i][j]
=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i])
=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i])
这样我们就可以推广01背包问题到完全背包问题啦,完全背包问题的答案如下:
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];
int v[N],w[N];
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
{
cin>>v[i]>>w[i];
}
for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
for(int j = 0 ; j<=m ;j++)
{
for(int k = 0 ; k*v[i]<=j ; k++)
f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
}
cout<<f[n][m]<<endl;
}
but,这样写性能貌似不太行啊,还得优化:
大佬通过数学推导,把循环都给破解了,核心代码优化成这样:
for(int i = 1 ; i <=n ;i++)
for(int j = 0 ; j <=m ;j++)
{
f[i][j] = f[i-1][j];
if(j-v[i]>=0)
f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}
后面还能继续优化!但是到这里这道题已经能ac了,我这个懒逼就不继续思考了。
最终代码:
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 1005;
int v[MAXN]; // 体积
int w[MAXN]; // 价值
int f[MAXN][MAXN]; // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值
int main(){
int n,m;
cin >> n >> m;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin >> v[i] >> w[i];
}
for(int i = 1 ; i <=n ;i++)
for(int j = 0 ; j <=m ;j++)
{
f[i][j] = f[i-1][j];
if(j-v[i]>=0)
f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}